Problème droit de garde pour un bébé

Bonjour,
Je suis séparée depuis peu du père de mes enfants.Pour le premier,nous sommes passés devant le JAF.Hélàs pour le deuxième,il faudra certainement le faire aussi.
Il n'a pas encore reconnu l'enfant pour le moment,se serait en cours;le souci c'est qu'il n'a qu'un mois et qu'il a eu des problèmes de santé à la naissance,il est depuis suivi médicalement pour un moment.
Il ne prends de nouvelles de santé mais veut des droits dans avenir proche.
J'aimerai savoir qu'elles seraient les demandes que je pourrais effectuer pour le bien de mon bébé.Tout en sachant que nous habitons à 500 km de distance.
Depuis peu,plus aucune discussion n'est possible.
Cela fait déjà 2 mois qu'il ne me verse plus la pension.
Dois-je engagé aussi des démarches pour cela
Merci par avance