Licenciement proche pour des causes fausses et non fondées

Bonjour à vous,
je viens vers vous aujourd'hui afin d'avoir quelques conseils de pro.
Je travaille dans une SSII informatique en tant que cadre depuis presque 5 ans.

La société souhaite me licencier et utilise pour cela des motifs complètement faux.
On me reproche d'avoir trainé des pieds et d'avoir manqué d'implication pour aller sur une mission à 2h de chez moi.

La société n'a pas voulu tenir compte de mes contraintes horaires en tant que jeune papa.

Suite à l'entretien préalable à un éventuel licenciement avec le Directeur Général, mon argumentaire et les traces écrites (preuves par mail) que j'ai utilisé ont anéanti les griefs qui m'étaient reprochés.
Avec l'aide du Syndic, j'ai constitué un dossier "béton" qui me permettrait de gagner si on allait jusqu'au PrudHom.
En effet, dans les nombreux échanges de mails concernant cette histoire, entre les managers, leur hiérarchie et moi-même j'ai accumulé des preuves de début de harcèlement, puis il a eu de la part de 2 managers des mails complètement faux m'accusant d'avoir refusé de commencer la mission en question.
Naturellement j'ai répondu à chacun des mails et réfutant les accusations fausses concernant ce refus de mission (il n'y a strictement aucune trace écrite ou orale de ma part d'avoir refusé quoique ce soit). Les managers ont donc créés des preuves fausses (=mails mensongés) avec des accusations non fondées.

Aujourd'hui la société me propose un arrangement à l'amiable dans une semaine pour négocier.
Mais, connaissant la société, je sais déjà qu'ils vont me proposer un minimum d’indemnités.

Avec ces quelques éléments, je souhaitais avoir vos avis sur la pertinence d'une attaque de ma part contre l'entreprise, si je m'appuyais sur les mails totalement faux et accusateurs venant de 2 personnes différentes.

Est-ce que le fait qu'on me mette la pression par mail, à plusieurs reprises, hors des horaires de travail, et le fait que des mails clairement accusateurs et non fondés peuvent être des éléments suffisant pour que je les attaque éventuellement en justice ? (dans le cas où la négociation échoue car non satisfaisante pour moi, je me dis que ça pourrait les faire réfléchir à une proposition plus adaptées).

Je vous remercie d'avance pour vos réactions et vos conseils éclairés et reste à votre disposition si vous souhaitez avoir des informations complémentaires concernant cette longue histoire.