Licenciement pour faute grave

bonjour
j'étais consultant, salarié avec un contract CDI en SSII, société de service dans l'informatique.
ma mission en clientele se terminait fin avril après 3 années passées.
Fin mars on me fait passer un entretien pour une nouvelle mission 1/qui ne me correspond pas. (double compétence recherchée que je n'avais pas) 2/ que je ne peux de toute facon pas faire (règle des 3 ans max. de prestation en vigueur dans toutes les sociétés appartenant au meme groupe).
Comme mon ex société n'a aucun profil qui peut convenir,j'avais un collegue de boulot "indépendant" qui terminait sa mission, je lui parle de la mission et je lui transmet les coordonnées du contact avec juste le descriptif de la mission par email de ma boite privée à sa boite privée. Cela se fait couramment de se repasser les infos. Puis j'oublie l'email, on était fin mars.
ma mission se termine fin avril.
Début mai je reçois une lettre RAR de mon ex société pour un entretien au cours duquel on sera amené à prendre une sanction pouvant aller jusqu'au licenciement. il a eu lieu et on m'explique qu'on leur a retransféré l'email privé à mon ex patron fin mars, on ne me le montre pas, et qu'il s'agit d'une *faute grave*.
10 jours plus tard, fin mai je recois ma lettre de licenciement: les événements ont légèrement été modifiés et tournés à leur avantage : ainsi l'entretien pour ma prochaine mission aurait eu lieu fin avril et début mai mon ex patron aurait appris que j'avais fait un email privé. Que j'ai violé en outre une clause de mon contrat de travail: "Article 3 - conditions générales"
La société xxxxx vous confie la responsabilité d'interventions liées à l'informatique auprès de l'ensemble de sa clientèle.
A ce titre,vous vous engagez :
...
- à observer la plus grande discrétion sur tout ce qui concerne les activités de la société.
- à garder la plus grande discrétion sur toutes les informations recueillies dans le cadre de votre activité professionnelle en clientèle;vous êtes tenu à cet égard au secret professionnel le plus absolu.
Toute infraction à ces strictes obligations constitue une faute lourde et justifie non seulement un congédiement immédiat,mais en outre la réparation du préjudice causé.
voilà j'arrive à mes questions principales:
- il s'agit d'un email privé, peut il être produit au tribunal comme preuve?
- l'email ne contenant que le descr de la mission s'agit il d'une faute?
- faute grave? sachant qu'un mois 1/2 s'est passé entre le moment où le fait a été connu et le début procédu.