Peut-il faire une renonciation de paternité?

Bonjour,

Le père de ma fille et moi sommes divorcés depuis novembre 2008. Au départ nous avions la garde alternée mais il ne l'a jamais appliquée.
Après lui avoir laissé maintes fois l'occasion de se "rattrapper", j'ai refait une procédure. Il y a eu un jugement au mois d'octobre qui précise qu'il doit payer une pension alimentaire de 150 euro par mois + les arriérés depuis septembre 2009. Je n'ai pas encore vu un seul centimes.
Si nous sommes tous deux d'accord peut-il demander une renonciation de paternité ou sera t'il plutot obligé de prendre sa fille? ce serait très perturbant pour elle étant donné qu'il ne la voit jamais.
Je préfère la tranquillité de ma fille et la mienne plutot que les sous d'une pension alimentaire que je ne vois de toute façon pas!

J'ai déjà contacté une avocate qui dit que cette renonciation ne lui sera pas accordée...

Merci d'avance de vos réponses je suis un peu désespérée :-(