Rupture de contrat de travail

Bonjour,
Depuis le mois de mai 2010, je travaille à demeure auprès d’une personne handicapée et malade, en tant qu’aide humaine. Nous l’appellerons Claude par discrétion.
Je suis rémunérée 5 heures par jour par le Conseil Général pour une présence de 24/24 heures et cela 7/7 sans repos hebdomadaire.
Les soins médicaux sont pris en charge par l’HAD (Hospitalisation à Domicile).
Connaissant Claude avant qu’il ne tombe malade, j’ai accepté ce contrat dans la mesure où sa famille ne désirait pas le prendre en charge.
Mais sa pathologie s’est beaucoup aggravée, et ce travail est devenu bien trop lourd pour moi.
J’ai donc proposé à ladite famille un départ à l’amiable par rupture conventionnelle ou un licenciement mais ils n’acceptent aucune solution.
Leur réponse est que Claude est mon patron. Hors, Claude n’est, ni intellectuellement, ni physiquement capable de gérer quoi que ce soit.
Cette famille n’assume aucune responsabilité vis-à-vis de leur frère et trouve bien commode de n’avoir rien à débourser d’une part et n’avoir rien à faire d’autre part.
Je voudrais savoir si quelqu’un peut m’aider à rompre ce contrat sans que je sois en tort et perde mes droits en démissionnant.
La Direction du travail me conseille une rupture conventionnelle mais c’est impossible car, comme stipulé plus haut, Claude n’est pas dans un état mental et physique suffisant, et sa famille ne se sent pas concernée. Je
Dans l’espoir d’être conseillée et orientée,
Cordialement
Corinne Morvan

Déjà répondu en ce qui me concerne sur ce message posté en double.

__________________________
Cornil: ingénieur informaticien en retraite, vieux syndicaliste droit privé, vieux routard forums droit du travail depuis +15 ans (me souviens plus précisément) Souhaite au moins un AR (merci?)