Arrêt cdd public sur cdd privé: quels droits?

Bonjour,

Je vous expose ma situation en détail. Je viens de faire 5 CDD de 3 mois à l'Assistance Publique des Hôpitaux Marseillais (Fonction Publique hospitalière), le dernier se finissant le 31 mars 2009. J'avais prévenu ma hiérarchie de mon intention de quitter ce poste un bon mois avant pour des raisons personnelles (rapprochement familial) et de quitter le 13 pour le 93. Arrivant à la fin du contrat et n'ayant pas reçu par La Poste la proposition de renouvellement pour trois mois de l'APHM que j'ai reçue vers le 6-7 avril, je ne pensais pas avoir à faire de lettre de démission. Je pars comme prévu. Mon ex-chef m'appelle et me demande de faire une lettre pour dire que je quitte mon poste car autrement on ne pourra pas engager mon remplaçant. Par respect pour mon ancien laboratoire, je fais cette lettre en pensant que c'est une erreur, où je précise que je quitte mon poste pour raison familial et que ce n'est pas une démission, mais simplement la fin de mon contrat, et je demande le paiement de mes congés restants.
Je reçois une lettre recommandé qui me dit qu'ils prennent bien note de mon départ, sans plus. Je reçois ensuite à mon ancienne adresse sur Marseille une fiche ASSEDIC qui récapitule mes droits. Là, je vois comme motif de fin de contrat: Démission. Solde de tout compte: 0 car pas de préavis envoyé. Indemnité de fin de mission: 0.
Dernier jour travaillé le 31/03/09
J'ai deux questions:
- Comment ai-je pu démissionner d'un contrat qui n'existait pas, sachant que je n'avais reçu aucune proposition en mars de renouvellement, et pourquoi aurais-je dû faire une lettre de démission? Que dois-je donc faire pour récupérer au moins mon solde de tout compte, et la prime de fin de contrat si possible?

- J'ai donc signé un CDD de 5 mois au moins dans un Institut semi-privé, vais-je toucher l'allocation chômage pour laquelle j'ai cotisée pendant pratiquement deux ans?

C'est un peu long mais Merci de me répondre car je pense qu'il faut agir vite.